Базовая теория чисел. Вопрос.

GOBHYASHKA сказал(а):↑

https://gdz.ru/class-7/algebra/makarichev-18/500/

Почему мы утверждаем что значение выражения обязателньо должно быть кратно 17-ти чтобы быть составным числом? Типа если бы а(а+1) могло быть равно 3 или 5 то полукчилось бы составное число, не кратное 17-ти. Откуда мы знаем что а(а+1) не будет равно при целых а такому значению, которое в сумме с 17 даст составное?

Нажмите, чтобы раскрыть...

16 + 17 = 33 составное
15 + 17 = 32 составное
13 + 17 = 30 составное
11 + 17 = 28 составное
10 + 17 = 27 составное
9 + 17 = 26 составное
8 + 17 = 25 составное
7 + 17 = 24 составное
5 + 17 = 22 составное
4 + 17 = 21 составное
3 + 17 = 20 составное
1 + 17 = 18 составное

Либо решение неверное, либо ты намеренно условия задания искажашеь

GOBHYASHKA сказал(а):↑

при каком минимальном целом а значение выражения а квадрат плюс а плюс семнадцать является составным числом

Нажмите, чтобы раскрыть...

"Целых" здесь можно бесконечно много вниз загнать, а - сто пудова натуральное, а не целое

А ответ: 1

Т.к. 1*1 + 1*17 = 1 + 17 = 18 = 1 * 2 * 9

[upd] перечитал
Сейчас буду думать

Nightling сказал(а):↑

16 + 17 = 33 составное
15 + 17 = 32 составное
13 + 17 = 30 составное
11 + 17 = 28 составное
10 + 17 = 27 составное
9 + 17 = 26 составное
8 + 17 = 25 составное
7 + 17 = 24 составное
5 + 17 = 22 составное
4 + 17 = 21 составное
3 + 17 = 20 составное
1 + 17 = 18 составное

Либо решение неверное, либо ты намеренно условия задания искажашеь

"Целых" здесь можно бесконечно много вниз загнать, а - сто пудова натуральное, а не целое

А ответ: 1

Т.к. 1*1 + 1*17 = 1 + 17 = 18 = 1 * 2 * 9

Нажмите, чтобы раскрыть...

ну да, я я имел в виду натуральные) Типа ясно что вниз бесконечно можно идти. Натуральные а, да.

GOBHYASHKA сказал(а):↑

ну да, я я имел в виду натуральные) Типа ясно что вниз бесконечно можно идти. Натуральные а, да.

Нажмите, чтобы раскрыть...

Я понял что этот ребус немного сложнее чем кажется, сейчас кое-что буду обдумывать

Nightling сказал(а):↑

Я понял что этот ребус немного сложнее чем кажется, сейчас кое-что буду обдумывать

Нажмите, чтобы раскрыть...

Есть базовые законы делимости, о которых я писал. Нужно как-то от них отталкиваться. Но то как я это делаю, не дает ответа на вопрос, почему обязательно должно быть кратно 17-ти.

GOBHYASHKA сказал(а):↑

ну да, я я имел в виду натуральные) Типа ясно что вниз бесконечно можно идти. Натуральные а, да.

Нажмите, чтобы раскрыть...

чисто перебором очевидно, что 17 вылезает, потому что минимальное число из множества подходящих чисел, которые можно получить конструкцией a^2+a, насчёт аналитического доказательства надо думать, я пока в замешательстве

GOBHYASHKA сказал(а):↑

https://gdz.ru/class-7/algebra/makarichev-18/500/

Почему мы утверждаем что значение выражения обязателньо должно быть кратно 17-ти чтобы быть составным числом? Типа если бы а(а+1) могло быть равно 3 или 5 то полукчилось бы составное число, не кратное 17-ти. Откуда мы знаем что а(а+1) не будет равно при целых а такому значению, которое в сумме с 17 даст составное?

Нажмите, чтобы раскрыть...

Лучшая теория чисел - это 0 и 1, машинный код. Всё остальное - от лукавого.

ArtemX сказал(а):↑

Лучшая теория чисел - это 0 и 1, машинный код. Всё остальное - от лукавого.

Нажмите, чтобы раскрыть...

0 и 1 это метод представления информации, а не сама информация или система ее организации

Зарегался, чтоб ответить, заинтересовало решение.

Гипотеза S = a*(a+1) + N - составное, только когда S делится на N (где N - простое число) - неверна для любых N.
Например заменим 17 на другое простое число 5
S = a*(a+1) + 5 является составным при a = 1 -> S = 8

Откуда автор решения взял что оно будет составное, только когда делится на простое слагаемое, непонятно, здесь это просто случайность, что совпало.
Думаю, решается только перебором, не знаю никаких свойств простых чисел, которые бы помогли в этом случае.

disparate сказал(а):↑

Зарегался, чтоб ответить, заинтересовало решение.

Гипотеза S = a*(a+1) + N - составное, только когда S делится на N (где N - простое число) - неверна для любых N.
Например заменим 17 на другое простое число 5
S = a*(a+1) + 5 является составным при a = 1 -> S = 8

Откуда автор решения взял что оно будет составное, только когда делится на простое слагаемое, непонятно, здесь это просто случайность, что совпало.
Думаю, решается только перебором, не знаю никаких свойств простых чисел, которые бы помогли в этом случае.

Нажмите, чтобы раскрыть...

ну вот неужели составитель задачи рассчитывает на перебор?

disparate сказал(а):↑

Зарегался, чтоб ответить, заинтересовало решение.

Гипотеза S = a*(a+1) + N - составное, только когда S делится на N (где N - простое число) - неверна для любых N.
Например заменим 17 на другое простое число 5
S = a*(a+1) + 5 является составным при a = 1 -> S = 8

Откуда автор решения взял что оно будет составное, только когда делится на простое слагаемое, непонятно, здесь это просто случайность, что совпало.
Думаю, решается только перебором, не знаю никаких свойств простых чисел, которые бы помогли в этом случае.

Нажмите, чтобы раскрыть...

мне кажется что сосавитель задачи хотел как-то заюзать тему что вот если одно слагаемое делится на число и драгуое на него не делится то сумма не делится. Тлько вот в обьратную-=то сторону оно не обязателньо так должно работать...

GOBHYASHKA сказал(а):↑

ну вот неужели составитель задачи рассчитывает на перебор?

мне кажется что сосавитель задачи хотел как-то заюзать тему что вот если одно слагаемое делится на число и драгуое на него не делится то сумма не делится. Тлько вот в обьратную-=то сторону оно не обязателньо так должно работать...

Нажмите, чтобы раскрыть...

Я хз, что с составителем задач думал, но подумай сам.
Поменяй немного задачу на a*(a+2) + 17
Почему та же самая логика уже не применяется? (при a = 1 - сумма составная)

Перебор - плохое решение при неограниченном числе параметров.
Тут ты легко ограничеваешь сверху с a = 17 или a = 16, а потом проверяешь все a от 1 до 15 это не сложно сделать, думаю, по-другому никак.
Была бы задача a*(a+1) + 337 - другое дело, тут перебором уже попахивает решать

GOBHYASHKA сказал(а):↑

да.

там она не олимпиадная была, если че. Второй уровень по Гордину (даже не третий). Олимпиадные - это Прасолов))) Кто знает тот поймет

чел а ты не думал что прикладные и неприкладных берутся?))

Нажмите, чтобы раскрыть...

У Прасолова разные задачки бывают. Про уровни Гордина не знаю, но по ощущениям задача неплохая была, на 2-3 этап бы зашла (город - область).

А по этой задаче, кажется, что в решебнике чушь написана. Я бы так решал: можно вручную перебирать простые делители: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и окажется, что а*а + а + 17 на них делиться не может (для 11 и 13 весьма громоздко это). Значит, минимальный делитель 17.

disparate сказал(а):↑

Я хз, что с составителем задач думал, но подумай сам.
Поменяй немного задачу на a*(a+2) + 17
Почему та же самая логика уже не применяется? (при a = 1 - сумма составная)

Перебор - плохое решение при неограниченном числе параметров.
Тут ты легко ограничеваешь сверху с a = 17 или a = 16, а потом проверяешь все a от 1 до 15 это не сложно сделать, думаю, по-другому никак.
Была бы задача a*(a+1) + 337 - другое дело, тут перебором уже попахивает решать

Нажмите, чтобы раскрыть...

да, я понимаю, о чем ты. похоже на перебор, действительно. Но все равно я интуитивно решил так же, как в гдз)) Это не случайность ха-ха. Ну крч ладно.

disparate сказал(а):↑

Зарегался, чтоб ответить, заинтересовало решение.

Гипотеза S = a*(a+1) + N - составное, только когда S делится на N (где N - простое число) - неверна для любых N.
Например заменим 17 на другое простое число 5
S = a*(a+1) + 5 является составным при a = 1 -> S = 8

Откуда автор решения взял что оно будет составное, только когда делится на простое слагаемое, непонятно, здесь это просто случайность, что совпало.
Думаю, решается только перебором, не знаю никаких свойств простых чисел, которые бы помогли в этом случае.

Нажмите, чтобы раскрыть...

Зарегался, чтобы ответить неправильно. При a=1 будет 1*2 + 5 = 7

GOBHYASHKA сказал(а):↑

https://gdz.ru/class-7/algebra/makarichev-18/500/

Почему мы утверждаем что значение выражения обязателньо должно быть кратно 17-ти чтобы быть составным числом? Типа если бы а(а+1) могло быть равно 3 или 5 то полукчилось бы составное число, не кратное 17-ти. Откуда мы знаем что а(а+1) не будет равно при целых а такому значению, которое в сумме с 17 даст составное?

Нажмите, чтобы раскрыть...

Теперь по теме:

Интересный факт, перебор даёт реально число 16, как наименьшее возможное. Я пытался найти систему, исследуя разные добавки в конце, помимо "+17". Разумеется, в первую очередь выбор пал на простые числа и вот что получается:

• a² + a + 3 - минимальное а = 2 (то есть решение такое же, как в решебнике)
• а² + а + 5 - минимальное а = 4 (снова как в решебнике)
• а² + а + 7 - минимальное а = 1 (расхождение с решебником)
• ... + 11 - снова как в решебнике, а = 10
• ... + 13 - опять расхождение, подойдёт а = 1
• ... + 17 - ответ и так все знают
• ... + 19 - снова подойдёт а = 1

Объяснения закономерности нет. Единственное что можно заметить: числа 13(11+2) и 19(17+2) это "простое число-сосед + 2". Я не проверял решение на числах 23, 29, 31 и далее, но возможно принцип сохранится. Надо проверять

TheTrueBibika сказал(а):↑

Зарегался, чтобы ответить неправильно. При a=1 будет 1*2 + 5 = 7

Теперь по теме:

Интересный факт, перебор даёт реально число 16, как наименьшее возможное. Я пытался найти систему, исследуя разные добавки в конце, помимо "+17". Разумеется, в первую очередь выбор пал на простые числа и вот что получается:

• a² + a + 3 - минимальное а = 2 (то есть решение такое же, как в решебнике)
• а² + а + 5 - минимальное а = 4 (снова как в решебнике)
• а² + а + 7 - минимальное а = 1 (расхождение с решебником)
• ... + 11 - снова как в решебнике, а = 10
• ... + 13 - опять расхождение, подойдёт а = 1
• ... + 17 - ответ и так все знают
• ... + 19 - снова подойдёт а = 1

Объяснения закономерности нет. Единственное что можно заметить: числа 13(11+2) и 19(17+2) это "простое число-сосед + 2". Я не проверял решение на числах 23, 29, 31 и далее, но возможно принцип сохранится. Надо проверять

Нажмите, чтобы раскрыть...

Я проверил, на 29 не работает (2*3 + 29 = 35 --- непростое).

Baronet сказал(а):↑

У Прасолова разные задачки бывают. Про уровни Гордина не знаю, но по ощущениям задача неплохая была, на 2-3 этап бы зашла (город - область).

А по этой задаче, кажется, что в решебнике чушь написана. Я бы так решал: можно вручную перебирать простые делители: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и окажется, что а*а + а + 17 на них делиться не может (для 11 и 13 весьма громоздко это). Значит, минимальный делитель 17.

Нажмите, чтобы раскрыть...

Ну можно чутка сократить вычислений тем, что a(a+1) = (p - a)(p - a - 1) mod p.

А так, да, особо что-то дельного не придумалось.