Интересный вопрос

Baronet сказал(а):↑

И вообще ты что-то путаешь, степень определена однозначно, а вот уравнение вида x^n = 1 имеет n решений в комплексных числах, то есть функция, аналогичная корню нной степени неоднозначна в комплексных числах 

Нажмите, чтобы раскрыть...

Вот ты шаришь и понял о чем я спрашивал. Спасибо, тож к этому пришёл когда через формулу муавра расписывал все. Зачем люди мне графики какие то и формулу Эйлера кидали непонятно. 

Zacateca сказал(а):↑

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_(%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7)

 

5 секунд гугли.

 

Нажмите, чтобы раскрыть...

Мне не нужен график формулы Эйлера и её доказательство, мне нужно было понять каким образом в комплексных числах можно определить уравнение a^b ( нельзя) 

Потому что это просто функция: exp(z), которую записывают значком e^z.

Значок используют из-за преемственности с e^x, которая тоже экспонента.

 

Однако сходу могу заметить, что мы могли бы иначе продолжить экспоненту на ℂ

В самом деле exp(Real(z)), тоже бы прекрасно подошла.

 

Так почему мы продолжаем иначе?

 

Потому что другое продолжение обладает дополнительным замечательным свойством по имени голоморфность (комплексная дифференцируемость в каждой точке)

 

Более того, оказывается достаточно следующих трёх условий:

f(u + v) = f(u) ∙ f(v)

f(t) = e^t, t ∈ R

f - голоморфна

 

Чтобы заключить, что существует только одна удовлетворяющая всем трём условиям функция — exp(z), заданная любым удобным тебе способом: от ряда Тейлора, до предела последовательности.

 

То что ты подразумеваешь под a^z, это скорее всего exp(ln(a) ∙ z), где a ∈ ℂ, z ∈ ℂ

В свою очередь ln(z), это отображение которое можно задать следующим образом:

ln(u) = {z mod 2πi}, и при том exp(z) = u.

 

Как видно, комплексный логарифм немного не функция ℂ -> ℂ.

 

Поэтому и определение z^w = exp(ln(z) ∙ w), ни чем однозначным закончиться не может, тем не менее с этим даже можно работать.

 

А можно не работать и накидать каких-то условий, одним из которых будет f(x + y) = f(x) ∙ f(y), чтобы найти подходящую тебе функцию f.

blissful14 сказал(а):↑

Вот смотрите, есть у нас такая операция как возведение в степень. Если  мы уходим из натуральных и действительных чисел, то вот какая странность у нас выходит. 

В комплексных числах пример условно 3^3√2 строго не определён, ибо имеет 3 значения и к этому у меня вопросов нет, но почему тогда е^pi(i) имеет одно значение -1? Как это вообще работает. 

Нажмите, чтобы раскрыть...

это не интересный вопрос

FiaMayMour сказал(а):↑

это не интересный вопрос

Нажмите, чтобы раскрыть...

А какой вопрос интересный? 

blissful14 сказал(а):↑

А какой вопрос интересный? 

Нажмите, чтобы раскрыть...

Ну таких много... но они другой тематики 

FiaMayMour сказал(а):↑

Ну таких много... но они другой тематики 

Нажмите, чтобы раскрыть...

Если создашь тему, то я отвечу! 

blissful14 сказал(а):↑

Вот ты шаришь и понял о чем я спрашивал. Спасибо, тож к этому пришёл когда через формулу муавра расписывал все. Зачем люди мне графики какие то и формулу Эйлера кидали непонятно. 

 

Мне не нужен график формулы Эйлера и её доказательство, мне нужно было понять каким образом в комплексных числах можно определить уравнение a^b ( нельзя) 

Нажмите, чтобы раскрыть...

Видимо ты коряво задачу сформулировал.

YoshkinKot сказал(а):↑

Потому что это просто функция: exp(z), которую записывают значком e^z.

Значок используют из-за преемственности с e^x, которая тоже экспонента.

 

Однако сходу могу заметить, что мы могли бы иначе продолжить экспоненту на ℂ

В самом деле exp(Real(z)), тоже бы прекрасно подошла.

 

Так почему мы продолжаем иначе?

 

Потому что другое продолжение обладает дополнительным замечательным свойством по имени голоморфность (комплексная дифференцируемость в каждой точке)

 

Более того, оказывается достаточно следующих трёх условий:

f(u + v) = f(u) ∙ f(v)

f(t) = e^t, t ∈ R

f - голоморфна

 

Чтобы заключить, что существует только одна удовлетворяющая всем трём условиям функция — exp(z), заданная любым удобным тебе способом: от ряда Тейлора, до предела последовательности.

 

То что ты подразумеваешь под a^z, это скорее всего exp(ln(a) ∙ z), где a ∈ ℂ, z ∈ ℂ

В свою очередь ln(z), это отображение которое можно задать следующим образом:

ln(u) = {z mod 2πi}, и при том exp(z) = u.

 

Как видно, комплексный логарифм немного не функция ℂ -> ℂ.

 

Поэтому и определение z^w = exp(ln(z) ∙ w), ни чем однозначным закончиться не может, тем не менее с этим даже можно работать.

 

А можно не работать и накидать каких-то условий, одним из которых будет f(x + y) = f(x) ∙ f(y), чтобы найти подходящую тебе функцию f.

Нажмите, чтобы раскрыть...

Ты на чистого математика учишься?

YoshkinKot сказал(а):↑

Потому что это просто функция: exp(z), которую записывают значком e^z.

Значок используют из-за преемственности с e^x, которая тоже экспонента.

 

Однако сходу могу заметить, что мы могли бы иначе продолжить экспоненту на ℂ

В самом деле exp(Real(z)), тоже бы прекрасно подошла.

 

Так почему мы продолжаем иначе?

 

Потому что другое продолжение обладает дополнительным замечательным свойством по имени голоморфность (комплексная дифференцируемость в каждой точке)

 

Более того, оказывается достаточно следующих трёх условий:

f(u + v) = f(u) ∙ f(v)

f(t) = e^t, t ∈ R

f - голоморфна

 

Чтобы заключить, что существует только одна удовлетворяющая всем трём условиям функция — exp(z), заданная любым удобным тебе способом: от ряда Тейлора, до предела последовательности.

 

То что ты подразумеваешь под a^z, это скорее всего exp(ln(a) ∙ z), где a ∈ ℂ, z ∈ ℂ

В свою очередь ln(z), это отображение которое можно задать следующим образом:

ln(u) = {z mod 2πi}, и при том exp(z) = u.

 

Как видно, комплексный логарифм немного не функция ℂ -> ℂ.

 

Поэтому и определение z^w = exp(ln(z) ∙ w), ни чем однозначным закончиться не может, тем не менее с этим даже можно работать.

 

А можно не работать и накидать каких-то условий, одним из которых будет f(x + y) = f(x) ∙ f(y), чтобы найти подходящую тебе функцию f.

Нажмите, чтобы раскрыть...

Вспомнил матан из вуза из-за тебя, зачем

blissful14 сказал(а):↑

Вот смотрите, есть у нас такая операция как возведение в степень. Если  мы уходим из натуральных и действительных чисел, то вот какая странность у нас выходит. 

В комплексных числах пример условно 3^3√2 строго не определён, ибо имеет 3 значения и к этому у меня вопросов нет, но почему тогда е^pi(i) имеет одно значение -1? Как это вообще работает. 

Нажмите, чтобы раскрыть...

Решил мозги тут всем сломать?)

 

Serg121 сказал(а):↑

Вспомнил матан из вуза из-за тебя, зачем

Нажмите, чтобы раскрыть...

вьетнамские флешбеки?

 

Baronet сказал(а):↑

Ты на чистого математика учишься?

Нажмите, чтобы раскрыть...

не, я погромист 

YoshkinKot сказал(а):↑

Не, я погромист

Нажмите, чтобы раскрыть...

Зачем тогда мозг забиваешь ненужной фигнёй

На самом деле, когда учился, угорал по теорфизу, тфкп, функану, эргодической теории красивые дисциплины. Помогает в хорошем смысле сломать мозг, после них описание нового стандарта C++, например, не кажется чем-то ужасным

Baronet сказал(а):↑

Зачем тогда мозг забиваешь ненужной фигнёй

Нажмите, чтобы раскрыть...

Сложная и запутанная история. Я же ведь не только программист. Я же мню себя и художником и бог весьм кем. Если у меня жизнь сложиться, то это будет увлекательная история, которую можно будет рассказать сидя в кресле качалке, укрывшись пледом, с чашечкой чая, пока в камине трещат и лопаются шишки и горят мои черновики.

 

Baronet сказал(а):↑

На самом деле, когда учился, угорал по теорфизу, тфкп, функану, эргодической теории красивые дисциплины. Помогает в хорошем смысле сломать мозг, после них описание нового стандарта C++, например, не кажется чем-то ужасным

Нажмите, чтобы раскрыть...

Ну я кстати не физик по мышлению совсем, я на какой-то другой философской волне, и у меня внутренний протест происходит, каждый раз когда я с физикой вынужден был сталкиваться.

 

Ну то есть вот этот переход: "ага сделали умозрительную модель мира, что-то в ней посчитали через математику, теперь делаем предсказания о реальности" — у меня вызывает негодование лютое и желание всех бить башмаком по голове за недостаточную строгость. Даже когда там еще и экспериментально всё подтверждено, мне всё равно это не кажется достаточно убедительным оправданием метода.

 

Да, в общем-то, любая другая дисциплина кроме математики у меня вызывает такое же детское негодование. Особенно прикладники от математики, которые вероятности там какие-то посчитают и такие: ну нормально, должно летать. Нет, это не нормально, но мы просто вынуждены идти на компромиссы с нашей математической совестью, чтобы хоть какие-то дела делались и толк от нас был.

YoshkinKot сказал(а):↑

Сложная и запутанная история. Я же ведь не только программист. Я же мню себя и художником и бог весьм кем. Если у меня жизнь сложиться, то это будет увлекательная история, которую можно будет рассказать сидя в кресле качалке, укрывшись пледом, с чашечкой чая, пока в камине трещат и лопаются шишки и горят мои черновики.

 

Ну я кстати не физик по мышлению совсем, я на какой-то другой философской волне, и у меня внутренний протест происходит, каждый раз когда я с физикой вынужден был сталкиваться.

 

Ну то есть вот этот переход: "ага сделали умозрительную модель мира, что-то в ней посчитали через математику, теперь делаем предсказания о реальности" — у меня вызывает негодование лютое и желание всех бить башмаком по голове за недостаточную строгость. Даже когда там еще и экспериментально всё подтверждено, мне всё равно это не кажется достаточно убедительным оправданием метода.

 

Да, в общем-то, любая другая дисциплина кроме математики у меня вызывает такое же детское негодование. Особенно прикладники от математики, которые вероятности там какие-то посчитают и такие: ну нормально, должно летать. Нет, это не нормально, но мы просто вынуждены идти на компромиссы с нашей математической совестью, чтобы хоть какие-то дела делались и толк от нас был.

Нажмите, чтобы раскрыть...

Респект за художество, как по мне заниматься наукой без отдушины в виде творческого хобби --- грустновато. Сам бренчу на гитаре, ещё изучаю пианино и трубу  

Физика и математика забавно связаны в том смысле, что сложность док-ва математической задачи может зависеть от конфигурации физического мира. Например, существование в какой-то параллельной реальности "отеля бесконечность" дало бы возможность решать открытые задачи по теории чисел с помощью простых экспериментов. Да и вообще экспериментальная (конструктивная) математика --- норм тема, весёлая

Baronet сказал(а):↑

Респект за художество, как по мне заниматься наукой без отдушины в виде творческого хобби --- грустновато. Сам бренчу на гитаре, ещё изучаю пианино и трубу  

Физика и математика забавно связаны в том смысле, что сложность док-ва математической задачи может зависеть от конфигурации физического мира. Например, существование в какой-то параллельной реальности "отеля бесконечность" дало бы возможность решать открытые задачи по теории чисел с помощью простых экспериментов. Да и вообще экспериментальная (конструктивная) математика --- норм тема, весёлая

Нажмите, чтобы раскрыть...

Ну я не считаю, что экспериментальная математика прям столь столь полезна, потому что она лишь дает подсказку: ну как в планиметрии порой достаточно рисунок нарисовать, чтобы удостовериться в верности выбранного направления. Но она не дает то, за чем мы гоняемся: доказательства.

 

Математика она зависит не столько от реальности, сколько от возможностей вычислителя, потому что граница «очевидно» у всех по разному месту проходит, а потому мы пытаемся равняться на самого слабого из нас, которому вечно всё не достаточно очевидно.

blissful14 сказал(а):↑

Вот смотрите, есть у нас такая операция как возведение в степень. Если  мы уходим из натуральных и действительных чисел, то вот какая странность у нас выходит. 

В комплексных числах пример условно 3^3√2 строго не определён, ибо имеет 3 значения и к этому у меня вопросов нет, но почему тогда е^pi(i) имеет одно значение -1? Как это вообще работает. 

Нажмите, чтобы раскрыть...

Да