В частных, насколько я знаю, всем глобально насрать, особенно в мелких. В крупных могут спросить, т.к. там есть своя служба безопасности, да и медики на учёте стоять должны типа.
В госухе наверняка попросят, но это тоже можно задоджить отмазами типа "у меня военкомат забрал военник для обновления данных, сказали отдадут через месяц, больше ничего не знаю". Обычно после того, как ты устроишься, всем будет глубоко плевать, каких у тебя там документов не хватает. У меня племянник с 19 до 25 перекладывал бумажки на одном месте и одной должности в госухе, и числился там все 6 лет по паспорту, который ему в 14 выдали Никто даже не пошевелился, чтобы данные обновить, в бухгалтерии номер счёта есть, на него и слали зп, на остальное пофигу. Только когда на повышение пошёл, сказали обновить данные, но даже не поругали
В общем, сильно не парься, строгость наших законов компенсируется необязательностью их исполнения, так что устраивайся в разные места, где-нибудь и забьют на военник либо вообще не спросят.