Cижу значит ночью, а там эйлер и он типо говорит: Окаеринасаи, аната. Гохон о таберу? Офуро ни суру? Соретомо, Ва. Та. Ши? И показывает мне вот эту задачу
Любой третьеклассник знает, что: lim(n->inf) (1+1/n)^n = e = 2.71828182845904590...
Возводим это все в х степень и получаем lim (n->inf) (1+1/n)^nx
Так вот, прикол в том, что надо как то доказать, используя Бином Нюши, что вот это вот равняется Тейлоровому разложению е^x
Ну разложение е^x по тейлору это sum(k=0, inf) (x^n)/(n!)
Так вот, моя попытка тут:
Делаем подстановку m = nx
lim(n->inf)(1+x/m)^m
Юзаем бином ньутона (кстати я вот тут хз, легально ли писать что m стремится в бесконечность, исправьте если не прав)
lim(m->inf) sum(k=0, m)(nCr(m,k)*(x/m)^k) nCr это биномиальный коэффициент
Пишем бин. коэфф в полной форме
lim(m->inf) sum(k=0, m) (m!/k!(m-k)!)*(x^k)/(k!)
Туда сюда свапаем k
lim(m->inf) sum(k=0, m) (m!/ m^k (m-k)!)*(x^k/k!)
И тут, если присмотреться, то это уже похоже на то что нам надо, только я вот не знаю что делать с (m!/m^k (m-k)!)
Desmos и Вольфрамальфа говорят, что все легально, но я хз если это правильно и не могу избавиться от того куска, что отделяет меня от конечного ответа
Памагити плииииз
П.с. Сама задача была на одной из лекций 3blue1brown, прочекайте его если не знали, годный контент.
П.П.с я сейчас пойду еву (третью часть) смотреть, попозже зайду и прочекаю ответы